总体回归与样本回归

从一个微型总体到不断变化的样本回归线

胡华平

huhuaping01@hotmail.com

西北农林科技大学

2026-10-14

先押一个答案

从同一个总体，按同一种方法抽出两份样本：

先用智慧教室投票，再点击你的判断。

今天只追问一件事：SRF 为什么会变，又为什么仍能追踪 PRF？

先用智慧教室完成全班投票，不要立即点击答案。请两位选择不同选项的学生各用一句话说明理由，再点击页面反馈。约 2 分钟。

第一次实验：从总体到样本

先让“总体”现身

先观察：同一收入水平下，家庭支出为何仍然不同？

依次点击三个按钮。第一步追问同一 X 下 Y 为何不同；第二步让学生说出橙色点如何计算；第三步才给出 PRF。强调这是人为构造的有限总体，所以真值可见；现实研究中 PRF 通常不可直接观察。约 3 分钟。

这不是“随便抽 10 户”

60

户总体家庭
10 个收入水平，每层 5—7 户

→

10

户样本家庭
每个收入水平随机抽 1 户

这是一个按收入水平分层的固定 X 抽样设计：

\[ \text{每份样本}=\{(X_j,Y_{ij}):j=1,\ldots,10\},\qquad n=10 \]

随机的是“每层抽中哪一户”，不是 10 个收入水平本身。

原 xaringan 代码使用 group_by(group) 后每组抽 1 户。这里明确称为分层抽样，避免学生误认为是从 60 户中做简单随机抽样。约 2 分钟。

抽样实验室

显示 PRF

样本 1　Ŷ = 16.92 + 0.61X

先隐藏或保留 PRF，让学生预测下一条 SRL 的方向，再点击“下一份样本”。连续播放 5—8 份后暂停。追问：哪一个量始终不变？哪些量随样本改变？约 3 分钟。

两份样本，两条 SRL

两条 SRL 不同，不是因为总体参数改变，而是因为两份样本携带了不同的个体波动。

让学生先找三条线：样本 1、样本 2、总体。图例中的方程全部由 lm 结果动态生成，不使用原稿中的硬编码系数。约 2 分钟。

第二次实验：把抽样重复很多次

让样本回归线一条条出现

尚未加入样本回归线。

先增加 1 条，再增加 10 条，最后显示 162 条。点击前要求学生预测“会形成一条线、一个面，还是毫无规律”。观察平均线逐步靠近 PRL，但不要表述为每个单样本都必然接近。约 3 分钟。

估计量不是一个固定数字

162 次平均：截距 16.65，斜率 0.604；红星是总体参数 (17, 0.6)。

总体参数\(\beta_1,\beta_2\)固定，但通常未知

估计量\(\widehat\beta_1,\widehat\beta_2\)抽样前是随机变量

估计值\(\widehat\beta_1=16.9,\ \widehat\beta_2=0.61\)样本 1 给出的数值

蓝点是 162 次抽样得到的 162 对估计值；整团蓝点体现估计量的抽样分布。红星始终是总体参数。橙色菱形是本次 162 次模拟均值，不把有限重复的接近误说成数学恒等。约 3 分钟。

第三次实验：同一个点的两种距离

点击一个样本点：\(u_i\) 还是 \(e_i\)？

选择收入水平 X = 80 X = 100 X = 120 X = 140 X = 160 X = 180 X = 200 X = 220 X = 240 X = 260

X=80，Y=65；uᵢ=-0.0，eᵢ=-0.5

点击蓝色样本点，或用下拉菜单切换收入水平。红色距离连接观测与 PRF，蓝色虚点线连接观测与 SRF。换一份样本后，比较同一 X 水平的两个距离。约 3 分钟。

\(u_i\) 与 \(e_i\) 能互换吗？

总体世界

\[ u_i=Y_i-E(Y_i\mid X_i) \]

• 相对于 PRF
• 属于总体模型
• 现实中通常不可观测

样本世界

\[ e_i=Y_i-\widehat Y_i \]

• 相对于 SRF
• 由本次样本拟合得到
• 样本内可以计算

先向同桌解释，再点击。

正确选项 C。追问：当 SRF 恰好穿过 PRF 时，单个点的 u 和 e 是否必然相同？引导学生关注“在该 X 上两条线是否给出同一预测”。约 2 分钟。

四个公式，其实是一张地图

规律 / 条件均值

个体 / 观测

总体世界

PRF \(E(Y_i\mid X_i)=\beta_1+\beta_2X_i\)

PRM \(Y_i=\beta_1+\beta_2X_i+u_i\)

样本世界

SRF \(\widehat Y_i=\widehat\beta_1+\widehat\beta_2X_i\)

SRM \(Y_i=\widehat\beta_1+\widehat\beta_2X_i+e_i\)

纵向：总体到样本是在做估计；横向：规律到个体是在加入偏离。

逐格让学生先报名称，再显示或指认公式。强调 PRF 无帽子、SRF 有帽子；u 与 e 分属上下两个世界。约 2 分钟。

退出题：用一句话带走

为什么换一份样本会换一条 SRL，
但 SRL 仍可以用来追踪 PRL？

1. 不同样本抽中了不同个体，因而保留了不同的随机波动；
2. 抽样设计仍覆盖相同的 X 水平，样本继承了总体的系统关系；
3. 所以单条 SRL 有变异，重复抽样的中心却围绕总体规律。

请学生先独立写一句，再与同桌互改：句子中必须同时出现“抽样变异”和“总体规律”。最后显示三点参考答案。约 2 分钟。

互动练习结束